2018-2019 学年上海浦东新区华师大二附中高中二年级（上）月考数学试题
1、填空题
1．（3 分）直线 l：5x﹣12y+5＝0 的单位方向向量为____________________．
2（．3 分）已知
，且
与
的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是____________________．
3．（3 分）若直线 l 过点 ，且与直线 的夹角为
，则直线 l
的方程是__________．
4．（3 分）若直线 l：y＝kx﹣
与直线 2x+3y﹣6＝0 的交点坐落于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是__________．
5．（3 分）已知直线 l：x﹣y﹣1＝0，l1：2x﹣y﹣2＝0．若直线 l2 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的方程为__________．
6．（3 分）函数
的最小值为____________________．
7．（3 分）在△ABC 中，D、E 分别是 AB，AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若△ABC的面积为 1，则
• + 
2 的最小值为__________．
8．（3 分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 P 在大圆上，PA 与小圆相切于点 A，Q 为小圆上的点，则
的取值范围是__________．
9．（3 分）已知平面上三个不一样的单位向量 ， ， 满足 • ＝ ＝
，若 为平面内的任意单位向量，则| 
|+|2 
|+3| 
|的最大值为__________．
10．（3 分）在平面直角坐标系中，假如 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题
中正确的是____________________（写出所有正确命题的编号）．
①存在这种直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②假如 k 与 b 都是无理数，则直线 y＝kx+b 不经过任何整点
③直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不一样的整点
④直线 y＝kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线． 2、选择题
11．（3 分）已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，O 为△ABC 内一点，若分别
满足下列四个条件：
①a 
+b 
+c 
＝
②tanA• +tanB• +tanC• ＝
③sin2A• +sin2B• +sin2C• ＝
④ + 
+ ＝ 
则点 O 分别为△ABC 的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
12．（3 分）如图，在同一平面内，点 P 坐落于两平行直线 l1、l2 两侧，且 P 到 l1，l2 的距离分别为 1，3，点 M，N 分别在 l1，l2 上，|
+ |＝8，则 • 的最大值为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
13．（3 分）如图所示，∠BAC＝
，圆 M 与 AB，AC 分别相切于点 D，E，AD＝1，点 P
是圆 M 及其内部任意一点，且 （x，y∈R），则 x+y 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
 |
14．（3 分）已知点 M（a，b）与点 N（0，﹣1）在直线 3x﹣4y+5＝0 的两侧，给出以下结论：
①3a﹣4b+5＞0；
②当 a＞0 时，a+b 有最小值，无最大值；
③a2+b2＞1；
④当 a＞0 且 a≠1 时，
的取值范围是（﹣∞，﹣
）∪（
，+∞）．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（3 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 
、 
、 
、 、 
；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 
、
、 ．若 m、M 分别为（
+ + ）•（ + 
+ ）的最小值、最大值，其中{i，
j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则 m、M 满足（ ）
A．m＝0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M＝0 D．m＜0，M＜0
3、解答卷
16．已知直线 l：（2a+b）x+（a+b）y+a﹣b＝0 及点 P（3，4）．
（1） 证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标．
（2） 当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程．
17. 如图所示，∠PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ＝120°，为了打造愈加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC， 其中 AB 是宽长廊，造价是 800 元/米；AC 是窄长廊，造价是 400 元/米；两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 BC 上挨近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水上直线通道 AD（平台大小忽视不计），水上通道的造价是 1000 元/米．
（1） 若规划在三角形 ABC 地区内开发水上游乐项目，需要△ABC 的面积最大，那样 AB
和 AC 的长度分别为多少米？
（2） 在（1）的条件下，建直线通道 AD 还需要多少钱？
18. 
概念“矩阵”的一种运算 • ，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的变换下成点 
．设矩阵 A＝
（1） 已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为
，试求点 P 的坐标；
（2） 是不是存在这种直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有如此的直线；若没有，则说明理由．
19. 小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，大家了解当 P、A、B 三点共线，O 为直线外一点，且
时，x+y＝1（如图 1）第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．
（1） 当 x+y＞1 或 x+y＜1 时，O、P 两点的地方与 AB 所在直线之间存在什么关系？写出
你的结论，并说明理由
（2） 如图 2，射线 OM∥AB，点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的地区内
（不含边界）运动，且 ，求实数 x 的取值范围，并求当
时，实数 y 的取值范围．
（3） 过 O 作 AB 的平行线，延长 AO、BO，将平面分成如图 3 所示的六个地区，且
，请分别写出点 P 在每一个地区内运动（不含边界）时，实数 x，y 应满足的条件．（不必证明）
2018-2019 学年上海浦东新区华师大二附中高中二年级（上） 月考数学试题
参考答案与考试试题分析
1、填空题
1．（3 分）直线 l：5x﹣12y+5＝0 的单位方向向量为____________________．
【剖析】取直线 l：5x﹣12y+5＝0 的方向向量为±（5，12），即可求出直线的单位方向向量．
【解答】解：取直线 l：5x﹣12y+5＝0 的方向向量为±（5，12），
则该直线的单位方向向量为（，），（﹣，﹣），故答案为：（，），（﹣，﹣）
【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
2．（3 分）已知，且与
的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是____________________
______________________________．
【剖析】依据两向量的夹角为锐角知 • ＞0 且
、 不共线，由此求出 k 的取值范围．
【解答】解： ，且 与 的夹角为锐角，
∴ • ＝1﹣2k＞0，解得 k＜， 又 、 不共线，∴k≠﹣2，
∴实数 k 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，
）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．
【点评】本题考查了平面向量数目积与夹角的应用问题，是基础题．
3．（3 分）若直线 l 过点 ，且与直线 的夹角为，则直线 l
的方程是________________________________________________________________________________．
【剖析】先求出直线 m 的倾斜角，再依据直线 l 和直线 m 夹角为 ，可得直线 l 的倾斜
角，进而得到直线 l 的斜率，从而求得直线 l 的方程．
【解答】解：∵直线 l 过点 ，且与直线 的夹角为 ， 且直线 m 的斜率为＝ ，即直线 m 的倾斜角为，
设直直线 l 的倾斜角为θ，则θ＝+ ＝ 
，或θ＝π+（ 
﹣ 
）＝ 
， 故直线 m 的斜率没有，或直线 m 的斜率为 tan＝﹣tan ＝﹣ ，
故直线 l 的方程为 x＝﹣2，或 y﹣＝﹣ （x+2），即直线 l 的方程为 x＝﹣2，或 x+y
﹣1＝0，
故答案为：x＝﹣2，或 x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，是基础题．
4．（3 分）若直线 l：y＝kx﹣与直线 2x+3y﹣6＝0 的交点坐落于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是__________．
【剖析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，依据交点在第一象限得到横纵坐标都大于 0，联立得到关于 k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 k 的范围，然后依据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k，依据正切函数图象得到倾斜角的范围．
【解答】解：联立两直线方程得： ，
将①代入②得：x＝ ③，把③代入①，求得 y＝， 所以两直线的交点坐标为（ ， ），
由于两直线的交点在第一象限，所以得到 ，且 ， 解得：k＞ ，
设直线 l 的倾斜角为θ，则 tanθ＞，所以θ∈（ ，）．故答案为： ．
【点评】此题考查学生会依据两直线的方程求出交点的坐标，学会象限点坐标的特征， 学会直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．
5．（3 分）已知直线 l：x﹣y﹣1＝0，l1：2x﹣y﹣2＝0．若直线 l2 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的
方程为____________________________________________________________．
【剖析】先解方程组得 l 与 l1 的交点（1，0）也在 l2 上，然后在 l1 上去一点（2，2），则该点关于 l 的对称点（3，1）也在 l2 上，用两点式即可求得 l2 的方程．
【解答】解：联立 解得 ，所以三条直线的交点为（1，0）
在 l1 上取点（2，2），依题意该点关于 l 的对称点（3，1）在 l2 上
由两点式得 l2 的方程为＝ ，化简得 x﹣2y﹣1＝0
故答案为：x﹣2y﹣1＝0．
【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题．
6．（3 分）函数的最小值为____________________．
【剖析】借助函数的表达式，转化为 x 轴上的点与（1，﹣3），（0，1）距离和的最小值．
【解答】解：函数 ＝ 
+ 
， 就是 x 轴上的点与（1，﹣3）与（0，1）距离之和的最小值，
可得最小值为： 
＝ ． 故答案为： ．
【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用．
7．（3 分）在△ABC 中，D、E 分别是 AB，AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若△ABC的面积为 1，则
• 
+ 2 的最小值为__________．
【剖析】由三角形的面积公式，S△ABC＝2S△MBC，则 S△MBC＝，依据三角形的面积公式
及向量的数目积，借助余弦定理，即可求得则 • 
+ 2，借助导数求得函数的单调性， 即可求得则 • 
+ 2 的最小值；
办法2、借助辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得 • + 2 的最小值．
【解答】解：∵D、E 是 AB、AC 的中点，
∴A 到 BC 的距离＝点 A 到 BC 的距离的一半，
∴S△ABC＝2S△MBC，而△ABC 的面积 1，则△MBC 的面积 S△MBC＝，
S△MBC＝ 
丨 MB 丨×丨 MC 丨 sin∠BMC＝，
∴丨 MB 丨×丨 MC 丨＝．
∴ • ＝丨 MB 丨×丨 MC 丨 cosplay∠BMC＝．
由余弦定理，丨 BC 丨 2＝丨 BM 丨 2+丨 CM 丨 2﹣2 丨 BM 丨×丨 CM 丨 cosplay∠BMC， 显然，BM、CM 都是正数，
∴丨 BM 丨 2+丨 CM 丨 2≥2 丨 BM 丨×丨 CM 丨，
∴丨 BC 丨 2＝丨 BM 丨 2+丨 CM 丨 2﹣2 丨 BM 丨×丨 CM 丨cosplay∠BMC＝2×
﹣2×
．．
∴ • + 2≥ +2× ﹣2× ＝ ，
办法1、令 y＝ ，则 y′＝ ，令 y′＝0，则 cosplay∠BMC＝， 此时函数在（0， ）上单调减，在（ ，1）上单调增，
∴cosplay∠BMC＝ 时， 获得最小值为 ，
• 
+ 2 的最小值是，
办法2、令 y＝，则 ysin∠BMC+cosplay∠BMC＝2，则 sin（∠BMC+α）
＝2，tanα＝ ，
则 sin（∠BMC+α）＝ ≤1，解得：y≥ ，
• + 
2 的最小值是， 故答案为： ．
【点评】本题考查了向量的线性运算、数目积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，是中档题．
8．（3 分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 P 在大圆上，PA 与小圆相切于点 A，Q 为小圆上的点，则
的取值范围是______________________________．
【剖析】打造适合的平面直角坐标系，设 Q（cosplayα，sinα），A（0，﹣1），取 P（﹣，
﹣1），
借助平面向量的坐标表示求数目积，依据三角函数的有界性求出它的取值范围．
【解答】解：打造平面直角坐标系，如图所示， 设 Q（cosplayα，sinα），A（0，﹣1），
则 P（±，﹣1），可以取 P（﹣，﹣1），则＝（，0），＝（cosplayα+，sinα+1），
∴ • ＝ （cosplayα+ 
）＝ cosplayα+3； 又 cosplayα∈[﹣1，1]，
∴3﹣ ≤ cosplayα+3≤3+ ，
即 的取值范围是[3﹣ ，3+ ]． 故答案为：[3﹣ ，3+ ]．
【点评】本题考查了平面向量的数目积与数形结合的数学思想，是基础题．
9．（3 分）已知平面上三个不一样的单位向量，，满足•＝
＝ ，若为平面内的
任意单位向量，则| 
|+|2 |+3| |的最大值为__________．
【 分 析 】 柯 西 不 等 式 可 得 ：（ | |+|2 |+3| | ） 2 ≤ （ 12+22+32 ）
（| |2+| |2+3| |2）
＝14（（||2+||2+||2），再依据向量的数目积公式计算即可．
【 解答】 解： 由柯西不等式可得 ：（ | |+|2 |+3| | ） 2 ≤ （ 12+22+32 ）
（| |2+| |2+| |2）
＝14（（||2+||2+||2），因为 • ＝ ＝ ，
∴ 与 ， 与 的夹角为，
下面求| |2+| |2+| |2， 因为| |2＝|﹣ |2，
可以将 换成﹣ ，设 与 夹角为θ，
则| |2+| |2+| |2＝cosplay2（ ﹣θ）+cosplay2（π﹣θ）+cosplay2（ ﹣θ）+
＝ + •cosplay（ π﹣θ）+ + cosplay（2π﹣2θ）+ + cosplay（ π﹣2θ）
＝ + [cosplay（ 
π﹣2θ）+cosplay2θ+ + cosplay（ 
π﹣2θ）]
＝ + （﹣ cosplay2θ+ sin2θ+cosplay2θ﹣ cosplay2θ﹣ sin2θ）
＝ ，
∴（| |+|2 |+3| |）2≤14× ＝21
∴| |+|2 |+3| |的最大值为 
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量的数目积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难点．
10．（3 分）在平面直角坐标系中，假如 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是____________________________________________________________（写出所有正确命题的编号）．
①存在这种直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②假如 k 与 b 都是无理数，则直线 y＝kx+b 不经过任何整点
③直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不一样的整点
④直线 y＝kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线．
【剖析】举例说明命题①⑤是真命题；举反例说明命题②是假命题；假设直线 l 过两个不一样的整点，设直线 l 为 y＝kx，把两整点的坐标代入直线 l 的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上，借助同样的办法，得到直线 l 经过无穷多个整点，得到命题③为真命题；当 k，b 都为有理数时，y＝kx+b 可能不经过整点，
比如 k＝，b＝ ，说明④是假命题．
【解答】解：①令 y＝x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；
②若 k＝，b＝，则直线 y＝x+经过（﹣1，0），命题②错误；
③设 y＝kx 为过原点的直线，若此直线 l 过不一样的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线 l 方程得：y1＝kx1，y2＝kx2，
两式相减得：y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线 y＝kx 上且为整点，
通过这种办法得到直线 l 经过无穷多个整点，则③正确；
④当 k，b 都为有理数时，y＝kx+b 可能不经过整点，比如 k＝，b＝ ，故④不正确；
⑤令直线 y＝x 恰经过整点（0，0），命题⑤正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真伪判断与应用，说明一个命题为假命题，仅需举一反例即可， 要说明一个命题是真命题需要经过严格的说理证明，考查学生对题中新概念的理解能力， 是中档题．
2、选择题
11．（3 分）已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，O 为△ABC 内一点，若分别
满足下列四个条件：
①a +b +c ＝
②tanA• +tanB• +tanC• ＝
③sin2A• +sin2B• +sin2C• ＝
④ + + ＝
则点 O 分别为△ABC 的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【剖析】先考虑直角三角形 ABC，可令 a＝3，b＝4，c＝5，可得 A（0，4），B（3，0）， C（0，0），设 O（m，n），由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰三角形 ABC，底角为 30°，设 C（﹣1，）， B（2，0），A（0，0），O（x，y），由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．
【解答】解：先考虑直角三角形 ABC，可令 a＝3，b＝4，c＝5， 可得 A（0，4），B（3，0），C（0，0），设 O（m，n），
①a 
+b +c＝ ，即为 3（﹣m，4﹣n）+4（3﹣m，﹣n）+5（﹣m，﹣n）＝（0， 0），
即有﹣12m+12＝0，﹣12n+12＝0，解得 m＝n＝1，
即有 O 到 x，y 轴的距离为 1，O 在角 BCA 的平分线上，且到 AB 的距离也为 1， 则 O 为△ABC 的内心；
③sin2A• +sin2B• +sin2C• ＝ ，
即为（﹣m，4﹣n）+（3﹣m，﹣n）+0（﹣m，﹣n）＝（0，0），可得 3﹣2m＝0，4﹣2n＝0，解得 m＝，n＝2，
由|OA|＝|OB|＝|OC|＝ ，故 O 为△ABC 的外心；
④++＝，可得（﹣m，4﹣n）+（3﹣m，﹣n）+（﹣m，﹣n）＝（0，0），即为 3﹣3m＝0，4﹣3n＝0，解得 m＝1，n＝ ，
由 AC 的中点 D 为（0，2），|DB|＝ ，|OB|＝，即 O 分中线 DB 比为 2：3，故 O 为△ABC 的重心；
考虑等腰三角形 ABC，底角为 30°，
设 C（﹣1，），B（2，0），A（0，0），O（x，y），
②tanA• +tanB• +tanC• ＝ ，
即为﹣ （﹣x，﹣y）+（2﹣x，﹣y）+（﹣1﹣x， ﹣y）＝（0，0），可得 x+＝0， y+1＝0，解得 x＝﹣1，y＝﹣ ，
即 O（﹣1，﹣ ），由 OC⊥AB，kOA•kBC＝ •（﹣）＝﹣1，即有 OA⊥BC，故 O 为△ABC 的垂心．
故选：D．
| |
【点评】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，与化简运算能力，是难点．
12．（3 分）如图，在同一平面内，点 P 坐落于两平行直线 l1、l2 两侧，且 P 到 l1，l2 的距离分别为 1，3，点 M，N 分别在 l1，l2 上，|+ |＝8，则 • 的最大值为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
【剖析】打造适合的坐标系，借助坐标表示向量 、 ，依据| 
+ |＝8 求出• 的分析式，再求其最大值．
【解答】解：由点 P 坐落于两平行直线 l1，l2 的同侧，且 A 到 l1，l2 的距离分别为 1，3， 可得平行线 l1、l2 间的距离为 2；
以直线 l2 为 x 轴，以过点 P 且与直线 l2 垂直的直线为 y 轴， 打造坐标系，如图所示：
由题意可得点 P（0，﹣1），直线 l1 的方程为 y＝2，设点 M（a，0）、点 N（b，2），
∴＝（a，1）、＝（b，3），
∴+＝（a+b，4）；
∵| + |＝8，
∴（a+b）2+16＝64，
∴a+b＝4 ，或 a+b＝﹣4；
当 a+b＝4时， • ＝ab+3＝a（4 ﹣a）+3＝﹣a2+4 a+3， 它的最大值为﹣ +4 ×2 +3＝15；
当 a+b＝﹣3 时，＝ab+3＝a（﹣4 ﹣a）+3＝﹣a2﹣4 a+3，
它的最大值为﹣ ﹣4 ×（﹣2 ）+3＝15； 综上可得， 的最大值为 15．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量的数目积公式与向量坐标形式的运算问题，是综合题．
13．（3 分）如图所示，∠BAC＝，圆 M 与 AB，AC 分别相切于点 D，E，AD＝1，点 P
是圆 M 及其内部任意一点，且（x，y∈R），则 x+y 的取值范围是（ ）
| |
A． B． C． D．
| |
【剖析】连接 MA，MD，求出圆 M 的半径 MD 和 MA，得出 AP 的最值，依据等边三角形的性质即可得出 x+y 的最值．
【解答】解：连接 MA，MD，则∠MAD＝，MD⊥AD，
∵AD＝1，∴MD＝ ，MA＝2，
∵点 P 是圆 M 及其内部任意一点，
∴2﹣ ≤AP≤2+ ，且当 A，P，M 三点共线时，x+y 获得最值，
当 AP 获得最大值时，以 AP 为对角线，以 AB，AC 为邻边方向作平行四边形 AA1PB1， 则△APB1 和△APA1 是等边三角形，∴AB1＝AA1＝AP＝2+，
∴x＝y＝2+ ，
∴x+y 的最大值为 4+2 ，
同理可求出 x+y 的最小值为 4﹣2． 故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的几何运算，是中档题．
14．（3 分）已知点 M（a，b）与点 N（0，﹣1）在直线 3x﹣4y+5＝0 的两侧，给出以下结论：
①3a﹣4b+5＞0；
②当 a＞0 时，a+b 有最小值，无最大值；
③a2+b2＞1；
④当 a＞0 且 a≠1 时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【剖析】依据点 M（a，b）与点 N（1，0）在直线 3x﹣4y+5＝0 的两侧，可以画出点 M
（a，b）所在的平面地区，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一剖析四个命题得结论．
【解答】解：∵点 M（a，b）与点 N（0，﹣1）在直线 3x﹣4y+5＝0 的两侧，
∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即 3a﹣4b+5＜0，故①错误；当 a＞0 时，a+b＞，a+b 即无最小值，也无最大值，故②错误；
设原点到直线 3x﹣4y+5＝0 的距离为 d，则 d＝ ，则 a2+b2＞4，故③正
确；
当 a＞0 且 a≠1 时，表示点 M（a，b）与 P（1，﹣1）连线的斜率．
∵ 当 a＝0，b＝ 时， ＝ ，又直线 3x﹣4y+5＝0 的斜率为 ， 故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．
∴正确命题的个数是 2 个．
| |
故选：B．
【点评】本题考查的要点是命题的真伪判断与应用，线性规划的简单应用，考查数学转化思想办法，是中档题．
15．（3 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、
、 ．若 m、M 分别为（+ + ）•（ + + ）的最小值、最大值，其中{i，
j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则 m、M 满足（ ）
A．m＝0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M＝0 D．m＜0，M＜0
【剖析】借助向量的数目积公式，可知只有 ，其余数目积均小于等于 0，从而可结论．
【解答】解：由题意，以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、 、
；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、 、 ，
∴借助向量的数目积公式，可知只有 ，其余数目积均小于等于 0，
∵m、M 分别为（+ + ）•（ + + ）的最小值、最大值，
∴m＜0，M＜0 故选：D．
【点评】本题考查向量的数目积运算，考查学生剖析解决问题的能力，剖析出向量数目积的正负是重点．
3、解答卷
16．已知直线 l：（2a+b）x+（a+b）y+a﹣b＝0 及点 P（3，4）．
（1） 证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标．
（2） 当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程．
【剖析】（1）直线 l 方程化成 a（2x+y+1）+b（x+y﹣1）＝0，再联解关于 x、y 的方程组
，即可得到直线 l 经过的定点坐标；
（2）设直线 l 经过的定点为 A，由平面几何常识，得到当 PA⊥l 时，点 P 到直线 l 的距离最大．因此算出直线 PA 的斜率，再借助垂直直线斜率的关系算出直线 l 的斜率，即可求出此时直线 l 的方程．
【解答】解：（1）直线 l 方程可化为：a（2x+y+1）+b（x+y﹣1）＝0
由 ，解得 x＝﹣2 且 y＝3，
∴直线恒 l 过定点 A，其坐标为（﹣2，3）．
（2）∵直线恒 l 过定点 A（﹣2，3）
∴当点 P 在直线 l 上的射影点恰好是 A 时， 即 PA⊥l 时，点 P 到直线 l 的距离最大
∵PA 的 斜 率 kPA＝ ＝
∴直线 l 的斜率 k＝＝﹣5
由此可得点 P 到直线 l 的距离最大时，
直线 l 的方程为 y﹣3＝﹣5（x+2），即 5x+y+7＝0．
【点评】本题给出直线经过定点，求直线外一点 P 到直线的距离最大时直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等常识，是基础题．
17. 如图所示，∠PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ＝120°，为了打造愈加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC， 其中 AB 是宽长廊，造价是 800 元/米；AC 是窄长廊，造价是 400 元/米；两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 BC 上挨近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水上直线通道 AD（平台大小忽视不计），水上通道的造价是 1000 元/米．
（1） 若规划在三角形 ABC 地区内开发水上游乐项目，需要△ABC 的面积最大，那样 AB
和 AC 的长度分别为多少米？
（2） 在（1）的条件下，建直线通道 AD 还需要多少钱？
【剖析】（1）设 AB＝xm，AC＝ym，则 800x+400y＝1200000，即 2x+y＝3000，表示面积，借助基本不等式，可得结论；
（2）借助向量办法，求出 AD，即可得出结论．
【解答】解：（1）设 AB＝xm，AC＝ym，则 800x+400y＝1200000，即 2x+y＝3000，
S△ABC＝ ＝ ＝ ＝281250 m3， 当且仅当 2x＝y，即 x＝750m，y＝1500m 时等号成立，
∴△ABC 的面积最大，那样 AB 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米；
（2）在（1）的条件下， ＝ + ，
∴ ＝ ＝250000，
∴| |＝500，
∴1000×500＝500000 元，即建直线通道 AD 还需要 50 万元．
【点评】本题考查三角形中面积的求法，考查向量常识的运用，考查化简收拾的运算能力，是中档题．
18. 概念“矩阵”的一种运算 • ，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的
变换下成点 ．设矩阵 A＝
（1） 已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为，试求点 P 的坐标；
（2） 是不是存在这种直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？ 若存在，试求出所有如此的直线；若没有，则说明理由．
【剖析】（1）设 P（x，y），由题意，得出关于 x，y 的方程，解之即得 P 点的坐标；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这种直线，设直线方程为：y＝kx+b
（k≠0），该直线上的任一点 M（x，y），经变换后得到的点 N（）仍在该直线上，再结合求方程的解即可求得 k，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即没有；不然存在．
【解答】解：（1）设 P（x，y）
由题意，有 ，
即 P 点的坐标为．
（2）假设存在这种直线，由于平行坐标轴的直线显然不满足条件， 所以设直线方程为：y＝kx+b（k≠0）
由于该直线上的任一点 M（x，y），经变换后得到的点 N（）仍在该直
线上
所以
即 ，其中 y＝kx+b（k≠0）
代入得 对任意的 x∈R 恒成立
解之得
故直线方程为 或 ．
【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等入门知识，考查运算求解能力与转化思想．是中档题．
19. 小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，大家了解当 P、A、B 三点共线，O 为直线外一点，且时，x+y＝1（如图 1）第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．
（1） 当 x+y＞1 或 x+y＜1 时，O、P 两点的地方与 AB 所在直线之间存在什么关系？写出
你的结论，并说明理由
（2） 如图 2，射线 OM∥AB，点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的地区内
（不含边界）运动，且 ，求实数 x 的取值范围，并求当时，实数 y 的取值范围．
（3） 过 O 作 AB 的平行线，延长 AO、BO，将平面分成如图 3 所示的六个地区，且
，请分别写出点 P 在每一个地区内运动（不含边界）时，实数 x，y 应满足
的条件．（不必证明）
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【剖析】运用平面向量基本定理和三点共线的结论可解决此问题．
【解答】（1）由题意知，若 x+y＞1，则 O、P 异侧；若 x+y＜1，则 O、P 同侧；
（2）依据题意得，x＞0；x＝ 时，数形结合得
（3）由题知Ⅰ： ；Ⅱ： ；Ⅲ： ；Ⅳ： ；Ⅴ： ；
Ⅵ： ．
【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用．
